goldenbar

ΒΙΟΣ ΚΑΙ ΕΡΓΑ

❧ 

  Ὁ Ὑψικλῆς ὁ Ἀλεξανδρεὺς ἦταν ἕνας σημαντικὸς ἀστρονόμος, ποὺ ἔζησε περὶ τὸ 190 – 120 π.Χ. (150 – 90 π.Χ. κατὰ τὸν Εὐ. Σπανδάγο). Συνέγραψε μιὰ πραγματεία μὲ τίτλο Ἀναφορικὸς τῆς ὁποίας μόνον ἕνα μικρὸ ἀπόσπασμα σώζεται. Εἶναι ἐπίσης γνωστὴ ὡς Περὶ τῆς τῶν Ζῳδίων Ἀναφορᾶς καὶ Ἀναβάσεις.

Τὸ ἔργο τοῦ Ὑψικλέους στοὺς πολυγωνικοὺς ἀριθμοὺς μέσῳ ἀριθμητικῶν προόδων

  Ἄραβες συγγραφεῖς, ἁλλὰ καὶ σύγχρονοι, τοῦ ἀποδίδουν τὴν συγγραφὴ τοῦ ἔργου Περί πολυέδρων, ποὺ πραγματεύεται τὴν ἐγγραφὴ κανονικῶν στερεῶν σὲ σφαῖρα καὶ ἀποτελεῖ τὸ 14ο βιβλίο τῶν Στοιχείων τοῦ Εὐκλείδου. Ὁ Διόφαντος (περίπου 200 – 284 μ.Χ.) παραθέτει εἱς τὸ σύγγραμμά του Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν, ἕναν ὁρισμὸ τοῦ πολυγωνικοῦ ἀριθμοῦ ποὺ ὁφείλεται στὸν Ὑψικλῆ:

Καὶ ἀπεδείχθη τὸ παρὰ Ὑψικλεῖ ἐν ὅρῳ λεγόμενον, ὅτι, ‘ἐὰν ὦσιν ἀριθμοὶ ἀπὸ μονάδος ἐν ἴση ὑπεροχῇ ὁποσοιοῦν, μονάδος μενούσης τῆς ὑπεροχῆς, ὁ σύμπας ἐστὶν <τρίγωνος, δυάδος δέ>, τετράγωνος, τριάδος δέ, πεντάγωνος· λέγεται δὲ τὸ πλῆθος τῶν γωνιῶν κατὰ τὸν δυάδι μείζονα τῆς ὑπεροχῆς, πλευραὶ δὲ αὐτῶν τὸ πλῆθος τῶν ἐκτεθέντων σὺν τῇ μονάδι.’

(Καὶ ἀπεδείχθη αὐτὸ ποὺ διατυπώθηκε ἀπὸ τὸν Ὑψικλῆ στὸν ὁρισμό του, ὅτι: ‘ἐὰν λάβωμε μία ὁποιαδήποτε ἀκολουθία ἀριθμῶν ποὺ ἀρχίζει ἀπὸ τὴν μονάδα, αὐξανόμενη μὲ τὴν ἴδια σταθερὴ διαφορά, τότε: ἐὰν ἡ διαφορὰ εἶναι 1, τὸ ἄθροισμά τους δίνει τριγωνικὸ ἀριθμό· ἐὰν ἡ διαφορὰ εἶναι 2, τετραγωνικό· ἐὰν ἡ διαφορὰ εἶναι 3, πενταγωνικό. Τὸ πλῆθος τῶν γωνιῶν (τοῦ πολυγώνου) ἰσοῦται μὲ τὸν ἀριθμὸ ποὺ προκύπτει ἐὰν προσθέσουμε 2 στὴν διαφορά, ἐνῶ ἡ πλευρὰ τοῦ ἀριθμοῦ ἰσοῦται μὲ τὸ πλῆθος τῶν ὅρων τῆς ἀκολουθίας συμπεριλαμβανομένης τῆς ἀρχικῆς μονάδος.’)

Διοφάντου, Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν 470:27 – 472:4

  Τὸ ἀπόσπασμα δίνει τὸν γενικὸ ὁρισμὸ τῶν πολυγωνικῶν ἀριθμῶν μέσω αριθμητικών προόδων. Στὴν ἀρχαία ἑλληνικὴ μαθηματικὴ γλῶσσα ἡ ὑπεροχὴ σημαῖνει τὴν σταθερὴ διαφορὰ ἀριθμητικῆς προόδου (ὄχι τὸν λόγο ἢ τὴν ἀναλογία) ὥστε ἡ φράση δυάδι μείζονα τῆς ὑπεροχῆς ἀποτελεῖ ἀκριβὴ ἀλγεβρικὴ ἀπόδοση τοῦ κ = ω + 2, ποὺ ἐξάγει τὸν ἀριθμὸ τῶν γωνιῶν ἀπὸ τὴν διαφορὰ τῆς προόδου. Ἡ φράση πλευρὰ … σὺν τῇ μονάδι δὲν ἀναφέρεται σὲ γεωμετρικὸ μῆκος καθότι στοὺς πολυγωνικοὺς ἀριθμούς ἡ πλευρὰ εἶναι ὁ δείκτης / τάξη ν τῆς ἀριθμητικής προόδου ποὺ ὁρίζει τὸν ἀριθμό· ἡ φράση σὺν τῇ μονάδι διευκρινίζει ὅτι μετράμε τοὺς ὅρους. Έάν:

• ω = σταθερὴ διαφορά (ὑπεροχή) τῆς ἀριθμητικῆς προόδου
• ν = πλῆθος ὅρων (πλευρὰ / πλευρὰ τοῦ ἀριθμοῦ)
• κ = πλῆθος γωνιῶν/πλευρῶν τοῦ πολυγώνου

Ἡ ἁρχὴ τῆς προόδου εἶναι 1, ὁπότε οἱ ὅροι εἶναι:
1, 1 + ω, 1 + 2ω, …, 1 + (ν − 1)ω

Καθὼς τὸ κείμενο ὁρίζει κ = ω + 2, ὁ τύπος ταυτίζεται μὲ τὸν κλασικὸ πολυγωνικὸ καὶ τὸ ἄθροισμά τους εἶναι:
Π (κ, ν) = (ν[(κ − 2)ν − (κ − 4)])/ 2 

Παραδείγματα πολυγωνικῶν ἀριθμῶν βάσει του κειμένου:
• ω = 1 → κ = 3 → Τριγωνικοί: 1, 3, 6, 10, …
• ω = 2 → κ = 4 → Τετραγωνικοί: 1, 4, 9, 16, …
• ω = 3 → κ = 5 → Πενταγωνικοί: 1, 5, 12, 22, …

  Ὁ Διόφαντος ἀποδίδει στὸν Ὑψικλέα μία ἀκόμη ἀλγεβρικὴ ταυτότητα γιὰ τοὺς πολυγωνικοὺς ἀριθμούς:

Πᾶς πολύγωνος πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν η[πλ.] τοῦ δυάδι ἐλάσσονος τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν, καὶ προσλαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ τετράδι ἐλάσσονος τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν, ποιεῖ τετράγωνον. Συναποδειχθέντος οὖν καὶ τοῦ Ὑψικλέους ὅρου καὶ τούτου τῶν πολυγώνων, ἑξῆς ἐστι δεικνύναι πῶς δοθείσης πλευρᾶς ὁ ἐπιταχθεὶς πολύγωνος εὑρίσκεται.

(Κάθε πολυγωνικὸς ἀριθμός, ὅταν πολλαπλασιαστεῖ ἐπὶ τὸ ὁκταπλάσιο τοῦ ἀριθμού ποὺ εἶναι μικρότερος κατὰ 2 ἀπὸ τὸ πλῆθος τῶν γωνιῶν, καὶ προστεθεῖ στὸ τετράγωνο τοῦ ἀριθμοῦ ποὺ εἶναι μικρότερος κατὰ 4 ἀπὸ τὸ ἴδιο πλῆθος γωνιῶν, δίνει τέλειο τετράγωνο. Ἀφοῦ λοιπὸν ἀποδείχθηκε τόσο ὁ ὁρισμὸς τοῦ Ὑψικλέους ὅσο καὶ αὐτὴ ἡ ἰδιότητα τῶν πολυγωνικῶν ἀριθμῶν, στὴν συνέχεια πρέπει νὰ δειχθῇ ὅτι, ἐὰν δοθῇ ἡ “πλευρά” (δηλαδὴ τὸ ν / πλῆθος τῶν ὅρων), ὑπολογίζεται ὁ ζητούμενος πολυγωνικὸς ἀριθμός.)

Διοφάντου, Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν 472:16 – 472:22

  Τὸ κείμενο περιγράφει μιὰ κλασικὴ ἀλγεβρικὴ ταυτότητα τῶν πολυγωνικῶν ἀριθμῶν, γνωστὴ ἀπὸ τὸν Ὑψικλέα καὶ μεταγενέστερους μαθηματικούς, ὅπως ὁ Διόφαντος καὶ οἱ σχολιαστές του. Ἐὰν ὁρίσουμε:

• κ = πλῆθος γωνιῶν/πλευρῶν τῶν πολυγωνικῶν ἀριθμῶν (π.χ. κ = 3 τριγωνικοί, κ = 4 τετράγωνοι, κ = 5 πεντάγωνοι κ.ο.κ.)
• ν = πλῆθος ὅρων (πλευρά)
• Π (κ, ν) = ὁ ν-οστὸς 8-γωνικὸς ἀριθμός

Καὶ χρησιμοποιῶνας τὸν προηγούμενο γενικὸ τύπο:
Π (κ, ν) = (ν[(κ – 2)ν − (κ − 4)])/ 2 

Ἡ πρόταση τοῦ ἀρχαίου κειμένου ἐκφράζει τὴν ταυτότητα:
8 (κ − 2) × Π (κ, ν) + (κ − 4)2 = [2(κ −2)ν – (κ − 4)]2

  Δηλαδή, ὁ πολλαπλασιασμὸς τοῦ γενικοῦ τύπου με 8 (κ − 2) και η πρόσθεση τοῦ (κ − 4)2 μετατρέπουν πάντα τὸν πολυγωνικὸ ἀριθμὸ σὲ τέλειο τετράγωνο. Αὐτὴ ἡ ἰδιότητα χρησιμοποιήθη ἱστορικὰ γιὰ τὴν ἐπίλυση ἀντίστροφων προβλημάτων (π.χ. εὕρεση τοῦ ν ὅταν γνωρίζουμε τὸν Π καὶ τὸ κ).

Παράδειγμα (Πεντάγωνοι αριθμοί, κ = 5):
Γιὰ ν = 3, ὁ πεντάγωνος ἀριθμὸς εἶναι Π = 12.
Ἐφαρμόζουμε τὴν ταυτότητα:
8 (5 − 2) × 12 + (5 – 4)2 = 24 × 12 + 1 = 288 + 1 = 289 = 172 ←τετράγωνος ἀριθμός

Ἡ ἐφαρμογὴ τῶν ἀριθμητικῶν προόδων στὴν ἀστρονομία ἀπὸ τὸν Ὑψικλῆ

  Δύο ἀπὸ τὰ σημαντικότερα προβλήματα ποὺ μελετοῦσαν οἱ ἀρχαῖοι ἕλληνες μαθηματικοὶ ἀστρονόμοι μὲ χρήση σφαιρικῆς ἀστρονομίας ἦταν οἱ χρόνοι ἀναφορᾶς τῶν τόξων τῶν ζῳδιακῶν δωδεκατημορίων τῆς Ἐκλειπτικῆς καὶ οἱ ταυτόχρονες ἀνατολὲς σημείων / ἀπλανῶν ἀστέρων τῆς Οὐρανίας σφαίρας, καθ’ ὅλη τὴν διάρκεια τοῦ ἔτους καὶ σὲ διάφορους τόπους / γεωγραφικὲς ζῶνες, ποὺ λεγόντουσαν κλίματα. Τὸ γεωγραφικὸ πλάτος χωριζόταν σὲ ζῶνες 10° ἐκατέρωθεν τοῦ ἰσημερινοῦ· ἡ πρώτη ζώνη (γιὰ τὸ βόρειο ἡμισφαίριο) 0° – 10° λεγόταν 1ο κλίμα, ἡ δεύτερη ζώνη 11° – 20° λεγόταν 2ο κλίμα κ.ο.κ. Ἡ Ἀλεξάνδρεια γιὰ παράδειγμα ἦταν στὸ 4ο κλίμα, ὅπως καὶ ἡ Ρόδος, ἀλλὰ τὸ μεγαλύτερο μέρος τῆς Αἰγύπτου ἦταν στὸ 3ο κλίμα.

[συνεχίζεται]

  Ἡ παρούσα ἔκδοση περιέχει τὸ σωζόμενο μέρος τοῦ Ἀναφορικοῦ. Γιὰ τὸ πρωτότυπο κείμενο χρησιμοποιήθη: TLG (Τhesaurus Lingua Graeca).

 

Συμπληρωματικα