πανσέληνος
ΒΙΟΣ ΚΑΙ ΕΡΓΑ
❧
Ὁ Ὑψικλῆς ὁ Ἀλεξανδρεὺς ἦταν ἕνας σημαντικὸς ἀστρονόμος, ποὺ ἔζησε περὶ τὸ 190 – 120 π.Χ. (150 – 90 π.Χ. κατὰ τὸν Εὐ. Σπανδάγο), σύγχρονος τοῦ Ἱππάρχου. Συνέγραψε μιὰ πραγματεία μὲ τίτλο Ἀναφορικὸς τῆς ὁποίας μόνον ἕνα μικρὸ ἀπόσπασμα σώζεται. Εἶναι ἐπίσης γνωστὴ ὡς Περὶ τῆς τῶν Ζῳδίων Ἀναφορᾶς καὶ Ἀναβάσεις καὶ εἶναι ἡ ἀρχαιότερη σωζόμενη πηγὴ γιὰ τὴν διαίρεση τοῦ ζῳδιακοῦ σὲ 360°.
Τὸ ἔργο τοῦ Ὑψικλέους στοὺς πολυγωνικοὺς ἀριθμοὺς μέσῳ ἀριθμητικῶν προόδων
Ἄραβες συγγραφεῖς, ἁλλὰ καὶ σύγχρονοι, τοῦ ἀποδίδουν τὴν συγγραφὴ τοῦ ἔργου Περί πολυέδρων, ποὺ πραγματεύεται τὴν ἐγγραφὴ κανονικῶν στερεῶν σὲ σφαῖρα καὶ ἀποτελεῖ τὸ 14ο βιβλίο τῶν Στοιχείων τοῦ Εὐκλείδου. Ὁ Διόφαντος (περίπου 200 – 284 μ.Χ.) παραθέτει εἱς τὸ σύγγραμμά του Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν, ἕναν ὁρισμὸ τοῦ πολυγωνικοῦ ἀριθμοῦ ποὺ ὁφείλεται στὸν Ὑψικλῆ:
Καὶ ἀπεδείχθη τὸ παρὰ Ὑψικλεῖ ἐν ὅρῳ λεγόμενον, ὅτι, ‘ἐὰν ὦσιν ἀριθμοὶ ἀπὸ μονάδος ἐν ἴση ὑπεροχῇ ὁποσοιοῦν, μονάδος μενούσης τῆς ὑπεροχῆς, ὁ σύμπας ἐστὶν <τρίγωνος, δυάδος δέ>, τετράγωνος, τριάδος δέ, πεντάγωνος· λέγεται δὲ τὸ πλῆθος τῶν γωνιῶν κατὰ τὸν δυάδι μείζονα τῆς ὑπεροχῆς, πλευραὶ δὲ αὐτῶν τὸ πλῆθος τῶν ἐκτεθέντων σὺν τῇ μονάδι.’
(Καὶ ἀπεδείχθη αὐτὸ ποὺ διατυπώθηκε ἀπὸ τὸν Ὑψικλῆ στὸν ὁρισμό του, ὅτι: ‘ἐὰν λάβωμε μία ὁποιαδήποτε ἀκολουθία ἀριθμῶν ποὺ ἀρχίζει ἀπὸ τὴν μονάδα, αὐξανόμενη μὲ τὴν ἴδια σταθερὴ διαφορά, τότε: ἐὰν ἡ διαφορὰ εἶναι 1, τὸ ἄθροισμά τους δίνει τριγωνικὸ ἀριθμό· ἐὰν ἡ διαφορὰ εἶναι 2, τετραγωνικό· ἐὰν ἡ διαφορὰ εἶναι 3, πενταγωνικό. Τὸ πλῆθος τῶν γωνιῶν (τοῦ πολυγώνου) ἰσοῦται μὲ τὸν ἀριθμὸ ποὺ προκύπτει ἐὰν προσθέσουμε 2 στὴν διαφορά, ἐνῶ ἡ πλευρὰ τοῦ ἀριθμοῦ ἰσοῦται μὲ τὸ πλῆθος τῶν ὅρων τῆς ἀκολουθίας συμπεριλαμβανομένης τῆς ἀρχικῆς μονάδος.’)
Διοφάντου, Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν 470:27 – 472:4
Τὸ ἀπόσπασμα δίνει τὸν γενικὸ ὁρισμὸ τῶν πολυγωνικῶν ἀριθμῶν μέσω αριθμητικών προόδων. Στὴν ἀρχαία ἑλληνικὴ μαθηματικὴ γλῶσσα ἡ ὑπεροχὴ σημαῖνει τὴν σταθερὴ διαφορὰ ἀριθμητικῆς προόδου (ὄχι τὸν λόγο ἢ τὴν ἀναλογία) ὥστε ἡ φράση δυάδι μείζονα τῆς ὑπεροχῆς ἀποτελεῖ ἀκριβὴ ἀλγεβρικὴ ἀπόδοση τοῦ κ = ω + 2, ποὺ ἐξάγει τὸν ἀριθμὸ τῶν γωνιῶν ἀπὸ τὴν διαφορὰ τῆς προόδου. Ἡ φράση πλευρὰ … σὺν τῇ μονάδι δὲν ἀναφέρεται σὲ γεωμετρικὸ μῆκος καθότι στοὺς πολυγωνικοὺς ἀριθμούς ἡ πλευρὰ εἶναι ὁ δείκτης / τάξη ν τῆς ἀριθμητικής προόδου ποὺ ὁρίζει τὸν ἀριθμό· ἡ φράση σὺν τῇ μονάδι διευκρινίζει ὅτι μετράμε τοὺς ὅρους. Έάν:
• ω = σταθερὴ διαφορά (ὑπεροχή) τῆς ἀριθμητικῆς προόδου
• ν = πλῆθος ὅρων (πλευρὰ / πλευρὰ τοῦ ἀριθμοῦ)
• κ = πλῆθος γωνιῶν/πλευρῶν τοῦ πολυγώνου
Ἡ ἁρχὴ τῆς προόδου εἶναι 1, ὁπότε οἱ ὅροι εἶναι:
1, 1 + ω, 1 + 2ω, …, 1 + (ν − 1)ω
Καθὼς τὸ κείμενο ὁρίζει κ = ω + 2, ὁ τύπος ταυτίζεται μὲ τὸν κλασικὸ πολυγωνικὸ καὶ τὸ ἄθροισμά τους εἶναι:
Π (κ, ν) = (ν[(κ − 2)ν − (κ − 4)])/ 2
Παραδείγματα πολυγωνικῶν ἀριθμῶν βάσει του κειμένου:
• ω = 1 → κ = 3 → Τριγωνικοί: 1, 3, 6, 10, …
• ω = 2 → κ = 4 → Τετραγωνικοί: 1, 4, 9, 16, …
• ω = 3 → κ = 5 → Πενταγωνικοί: 1, 5, 12, 22, …
Ὁ Διόφαντος ἀποδίδει στὸν Ὑψικλέα μία ἀκόμη ἀλγεβρικὴ ταυτότητα γιὰ τοὺς πολυγωνικοὺς ἀριθμούς:
Πᾶς πολύγωνος πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν η[πλ.] τοῦ δυάδι ἐλάσσονος τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν, καὶ προσλαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ τετράδι ἐλάσσονος τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν, ποιεῖ τετράγωνον. Συναποδειχθέντος οὖν καὶ τοῦ Ὑψικλέους ὅρου καὶ τούτου τῶν πολυγώνων, ἑξῆς ἐστι δεικνύναι πῶς δοθείσης πλευρᾶς ὁ ἐπιταχθεὶς πολύγωνος εὑρίσκεται.
(Κάθε πολυγωνικὸς ἀριθμός, ὅταν πολλαπλασιαστεῖ ἐπὶ τὸ ὁκταπλάσιο τοῦ ἀριθμού ποὺ εἶναι μικρότερος κατὰ 2 ἀπὸ τὸ πλῆθος τῶν γωνιῶν, καὶ προστεθεῖ στὸ τετράγωνο τοῦ ἀριθμοῦ ποὺ εἶναι μικρότερος κατὰ 4 ἀπὸ τὸ ἴδιο πλῆθος γωνιῶν, δίνει τέλειο τετράγωνο. Ἀφοῦ λοιπὸν ἀποδείχθηκε τόσο ὁ ὁρισμὸς τοῦ Ὑψικλέους ὅσο καὶ αὐτὴ ἡ ἰδιότητα τῶν πολυγωνικῶν ἀριθμῶν, στὴν συνέχεια πρέπει νὰ δειχθῇ ὅτι, ἐὰν δοθῇ ἡ “πλευρά” (δηλαδὴ τὸ ν / πλῆθος τῶν ὅρων), ὑπολογίζεται ὁ ζητούμενος πολυγωνικὸς ἀριθμός.)
Διοφάντου, Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν 472:16 – 472:22
Τὸ κείμενο περιγράφει μιὰ κλασικὴ ἀλγεβρικὴ ταυτότητα τῶν πολυγωνικῶν ἀριθμῶν, γνωστὴ ἀπὸ τὸν Ὑψικλέα καὶ μεταγενέστερους μαθηματικούς, ὅπως ὁ Διόφαντος καὶ οἱ σχολιαστές του. Ἐὰν ὁρίσουμε:
• κ = πλῆθος γωνιῶν/πλευρῶν τῶν πολυγωνικῶν ἀριθμῶν (π.χ. κ = 3 τριγωνικοί, κ = 4 τετράγωνοι, κ = 5 πεντάγωνοι κ.ο.κ.)
• ν = πλῆθος ὅρων (πλευρά)
• Π (κ, ν) = ὁ ν-οστὸς 8-γωνικὸς ἀριθμός
Καὶ χρησιμοποιῶνας τὸν προηγούμενο γενικὸ τύπο:
Π (κ, ν) = (ν[(κ – 2)ν − (κ − 4)])/ 2
Ἡ πρόταση τοῦ ἀρχαίου κειμένου ἐκφράζει τὴν ταυτότητα:
8 (κ − 2) × Π (κ, ν) + (κ − 4)2 = [2(κ −2)ν – (κ − 4)]2
Δηλαδή, ὁ πολλαπλασιασμὸς τοῦ γενικοῦ τύπου με 8 (κ − 2) και η πρόσθεση τοῦ (κ − 4)2 μετατρέπουν πάντα τὸν πολυγωνικὸ ἀριθμὸ σὲ τέλειο τετράγωνο. Αὐτὴ ἡ ἰδιότητα χρησιμοποιήθη ἱστορικὰ γιὰ τὴν ἐπίλυση ἀντίστροφων προβλημάτων (π.χ. εὕρεση τοῦ ν ὅταν γνωρίζουμε τὸν Π καὶ τὸ κ).
Παράδειγμα (Πεντάγωνοι αριθμοί, κ = 5):
Γιὰ ν = 3, ὁ πεντάγωνος ἀριθμὸς εἶναι Π = 12.
Ἐφαρμόζουμε τὴν ταυτότητα:
8 (5 − 2) × 12 + (5 – 4)2 = 24 × 12 + 1 = 288 + 1 = 289 = 172 ←τετράγωνος ἀριθμός
Ἡ ἐφαρμογὴ τῶν ἀριθμητικῶν προόδων στὴν ἀστρονομία ἀπὸ τὸν Ὑψικλῆ
Δύο ἀπὸ τὰ σημαντικότερα προβλήματα ποὺ μελετοῦσαν οἱ ἀρχαῖοι ἕλληνες μαθηματικοὶ ἀστρονόμοι μὲ χρήση σφαιρικῆς ἀστρονομίας ἦταν οἱ χρόνοι ἀναφορᾶς τῶν τόξων τῶν ζῳδιακῶν δωδεκατημορίων τῆς Ἐκλειπτικῆς καὶ οἱ ταυτόχρονες ἀνατολὲς σημείων / ἀπλανῶν ἀστέρων τῆς Οὐρανίας σφαίρας, καθ’ ὅλη τὴν διάρκεια τοῦ ἔτους καὶ σὲ διάφορους τόπους / γεωγραφικὲς ζῶνες, ποὺ λεγόντουσαν κλίματα. Τὸ γεωγραφικὸ πλάτος χωριζόταν σὲ ζῶνες 10° ἐκατέρωθεν τοῦ ἰσημερινοῦ· ἡ πρώτη ζώνη (γιὰ τὸ βόρειο ἡμισφαίριο) 0° – 10° λεγόταν 1ο κλίμα, ἡ δεύτερη ζώνη 11° – 20° λεγόταν 2ο κλίμα κ.ο.κ. Ἡ Ἀλεξάνδρεια γιὰ παράδειγμα ἦταν στὸ 4ο κλίμα, ὅπως καὶ ἡ Ρόδος, ἀλλὰ τὸ μεγαλύτερο μέρος τῆς Αἰγύπτου ἦταν στὸ 3ο κλίμα.
[συνεχίζεται]
Ἡ παρούσα ἔκδοση περιέχει τὸ σωζόμενο μέρος τοῦ Ἀναφορικοῦ. Γιὰ τὸ πρωτότυπο κείμενο χρησιμοποιήθη: TLG (Τhesaurus Lingua Graeca).
Συμπληρωματικα
- Hypsicles of Alexandrias biography and works Βιογραφία Ὑψικλέους τοῦ Ἀλεξανδρέως
ΑΝΑΦΟΡΙΚΟΣ
ἑλληνικὸ πρωτότυπο ἐκ τοῦ TLG (Τhesaurus Lingua Graeca)
❧
[Πρόταση 1]
Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ὅροι ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ἑξῆς ἀλλήλων κείμενοι, ἄρτιοι τὸ πλῆθος, <ἀρχόμενοι ἀπὸ μεγίστου>, ἡ ὑπεροχή, ᾗ ὑπερέχει ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους [ἀρχομένων ἀπὸ μεγίστου] τῶν λοιπῶν, τῆς ἐν τοῖς πᾶσιν ὑπεροχῆς πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸν τετράγωνον τὸν ἀπὸ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους τῶν ἐκκειμένων ὅρων. Ἔστωσαν ὁσοιδηποτοῦν ὅροι οἱ αβ βγ γδ δε εζ ζη, ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ἑξῆς ἀλλήλων κείμενοι, ἄρτιοι τὸ πλῆθος, ἀρχόμενοι ἀπὸ μεγίστου τοῦ αβ, ἥμισυς δὲ τοῦ πλήθους ἔστω ὁ αδ· λέγω ὅτι ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους τῶν λοιπῶν, τουτέστιν ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει ὁ αδ τοῦ δη, τῆς ἐν τοῖς πᾶσιν ὑπεροχῆς πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸν τετράγωνον τὸν ἀπὸ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους.
Ἐπεὶ γὰρ ἡ τῶν αβ βγ ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶ τῇ τῶν δε εζ ὑπεροχῇ, ἐναλλὰξ ἄρα ἡ τῶν αβ δε ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶ τῇ τῶν βγ εζ ὑπεροχῇ· πάλιν, ἐπεὶ ἡ τῶν βγ γδ ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶ τῇ τῶν εζ ζη ὑπεροχῇ, ἐναλλὰξ ἡ τῶν βγ εζ ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶ τῇ τῶν γδ ζη ὑπεροχῇ. Ὥστε ἡ τῶν αβ δε ὑπεροχὴ καὶ ἡ τῶν βγ εζ ὑπεροχὴ καὶ ἡ τῶν γδ ζη ὑπεροχή, τουτέστιν ἡ τῶν αδ δη ὑπεροχή, τῆς τῶν αβ δε ὑπεροχῆς πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸ πλῆθος τῶν αβ βγ γδ. Ἔστι δὲ καὶ ἡ τῶν αβ δε ὑπεροχὴ τῆς τῶν αβ βγ ὑπεροχῆς πολλαπλασίων κατὰ τὸ πλῆθος τῶν αβ βγ γδ· ὥστε ἡ τῶν αδ δη ὑπεροχὴ τῆς τῶν αβ βγ ὑπεροχῆς πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸν τετράγωνον τὸν ἀπὸ τοῦ πλήθους τῶν αβ βγ γδ, τουτέστι κατὰ τὸν τετράγωνον τὸν ἀπὸ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους τῶν ἐκκειμένων ὅρων.
[Πρόταση 2]
Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ὅροι ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ἑξῆς ἀλλήλων κείμενοι, περισσοὶ τὸ πλῆθος, ἀρχόμενοι ἀπὸ μεγίστου, ὁ ἐκ πάντων συγκείμενος τοῦ μέσου πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸ πλῆθος τῶν ἐκκειμένων ὅρων.
Ἔστωσαν ὁσοιδηποτοῦν ὅροι οἱ αβ βγ γδ δε εζ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ἑξῆς ἀλλήλων κείμενοι, ἀρχόμενοι ἀπὸ μεγίστου τοῦ αβ, τὸ δὲ πλῆθος αὐτῶν περισσὸν ἔστω· λέγω ὅτι ὁ ἐκ πάντων συγκείμενος ὁ αζ τοῦ μέσου τοῦ γδ πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸ πλῆθος αὐτῶν.
Ἐπεὶ γὰρ οἱ αβ βγ γδ δε εζ ἐν ἴσῃ εἰσὶν ὑπεροχῇ, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν αβ βγ γδ τῷ πλήθει τῶν γδ δε εζ, ἔσται ἄρα δι' ἴσου ἡ τῶν αβ γδ ὑπεροχὴ ἴση τῇ τῶν γδ εζ ὑπεροχῇ· συναμφότερος ἄρα ὁ αβ εζ τοῦ γδ ἐστὶ διπλασίων, ὥστε συναμφότερος ὁ αβ εζ τοῦ γδ πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸ πλῆθος τῶν αβ εζ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ συναμφότερος ὁ βγ δε τοῦ γδ πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸ πλῆθος τῶν βγ δε, καὶ ἔστιν ὁ γδ ἴσος ἑαυτῷ· ὥστε ὁ αζ τοῦ γδ πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸ πλῆθος τῶν αβ βγ γδ δε εζ.
Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ὅροι ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ἑξῆς ἀλλήλων κείμενοι, ἄρτιοι τὸ πλῆθος, <ἀρχόμενοι ἀπὸ μεγίστου>, ὁ ἐκ πάντων συγκείμενος δύο τῶν κατὰ συζυγίαν πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸν ἥμισυν τοῦ πλήθους τῶν ἐκκειμένων ὅρων. Συζυγεῖς δὲ ἀλλήλων ὅρους καλῶ δύο τοὺς ἄκρους καὶ πάλιν τοὺς τούτων ἐχομένους δύο καὶ ἀεὶ δύο τοὺς ἑξῆς μέχρι τῶν μεσαιτάτων.
[Πρόταση 3]
Ἔστωσαν ὁσοιδηποτοῦν ὅροι οἱ αβ βγ γδ δε εζ ζη ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ἑξῆς ἀλλήλων κείμενοι, ἀρχόμενοι ἀπὸ μεγίστου τοῦ αβ, τὸ δὲ πλῆθος αὐτῶν ἄρτιον ἔστω· λέγω ὅτι ὁ ἐκ πάντων συγκείμενος ὁ αη δύο τῶν κατὰ συζυγίαν πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸν ἥμισυν τοῦ πλήθους τῶν ἐκκειμένων ὅρων.
Ἐπεὶ γὰρ ἡ τῶν αβ βγ ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶ τῇ τῶν εζ ζη ὑπεροχῇ, συναμφότερος ἄρα ὁ αβ ζη ἴσος ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῷ βγ εζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ συναμφότερος ὁ βγ εζ ἴσος ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῷ γδ δε. Ἔνεισιν ἄρα τῷ αη τοσοῦτοι συναμφότεροι οἱ αβζη βγεζ γδδε, ὅσον ἐστὶ τὸ πλῆθος τῶν αβ βγ γδ, τουτέστιν ὅσον ἐστὶ τὸ ἥμισυ τοῦ πλήθους τῶν ἐκκειμένων ὅρων· ὥστε ὁ αη δύο τῶν κατὰ συζυγίαν πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸν ἥμισυν τοῦ πλήθους τῶν ἐκκειμένων ὅρων.
Τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου εἰς τξ′ περιφερείας ἴσας διῃρημένου, ἑκάστη τῶν περιφερειῶν μοῖρα τοπικὴ καλείσθω· ὁμοίως δὴ καὶ τοῦ χρόνου, ἐν ᾧ ὁ ζῳδιακὸς ἀφ' οὗ ἔτυχε σημείου ἐπὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον παραγίγνεται, εἰς τξ′ χρόνους ἴσους διῃρημένου, ἕκαστος τῶν χρόνων μοῖρα χρονικὴ καλείσθω. Τούτων ὑποκειμένων χρώμενοι τοῖς προγεγραμμένοις θεωρήμασι δείξομεν, ὡς ἐν τῷ δοθέντι τόπῳ, γιγνωσκομένου τοῦ λόγου, ὃν ἔχει ἡ μακροτάτη ἡμέρα πρὸς τὴν βραχυτάτην ἡμέραν, ἕκαστον τῶν ζῳδίων γνωσθήσεται, ἐν ὅσαις χρονικαῖς μοίραις ἀναφέρεται.
Ὑποκείσθω δὴ τὸ ἐν Ἀλεξανδρείᾳ τῇ πρὸς Αἴγυπτον κλίμα, ἐν ᾧ ἡ μακροτάτη ἡμέρα πρὸς τὴν βραχυτάτην ἡμέραν λόγον ἔχει ὃν ζ′ πρὸς ε′· ὅτι γὰρ οὕτως ἔχει, ἐδείξαμεν χρώμενοι ταῖς ἀπὸ τῶν γνωμόνων γιγνομέναις τροπικαῖς μεσημβριναῖς σκιαῖς.
[Ἀστρονομικές προτάσεις]
[Πρόταση 1]
Ἐκκείσθω ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος, ἐν ᾧ ἰσημερινοῦ διάμετρος ἡ αη· καὶ διῃρήσθω ὁ κύκλος εἰς τὰ ζῴδια κατὰ τὰ α β γ δ ε ζ η θ κ λ μ ν· καὶ ἔστω τὸ μὲν α σημεῖον ἀρχὴ κριοῦ, τὸ δὲ β ἀρχὴ τοῦ ταύρου, τὸ δὲ γ ἀρχὴ διδύμων, καὶ τὰ ἑξῆς σημεῖα τῶν ἑξῆς ζῳδίων νοείσθω. καὶ ἐπεὶ ἡ μεγίστη ἡμέρα πρὸς τὴν βραχυτάτην ἡμέραν λόγον ἔχει ὃν ζ′ πρὸς ε′, καὶ ἔστι μεγίστης ἡμέρας χρόνος, ἐν ᾧ τὸ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικύκλιον ἀναφέρεται, τουτέστι τὸ δηλ, ἐλαχίστης δὲ ἡμέρας χρόνος, ἐν ᾧ τὸ μετὰ τὸν αἰγόκερω ἡμικύκλιον ἀναφέρεται, τὸ λαδ, ὁ ἄρα τῆς τοῦ δηλ ἡμικυκλίου ἀναφορᾶς χρόνος πρὸς τὸν τοῦ λαδ ἡμικυκλίου ἀναφορᾶς χρόνον λόγον ἔχει ὃν ζ′ πρὸς ε′. Καὶ ὅλος ὁ κύκλος ἀναφέρεται ἐν χρονικαῖς μοίραις τξ′· τὸ μὲν ἄρα δηλ ἡμικύκλιον ἀναφέρεται ἐν μοίραις χρονικαῖς σι′, τὸ δὲ λαδ ἡμικύκλιον ἐν μοίραις χρονικαῖς ρν′. Καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ μὲν δη τεταρτημόριον τῷ ηλ τεταρτημορίῳ ἀναφέρεται, τὸ δὲ λα τεταρτημόριον τῷ αδ τεταρτημορίῳ ἀναφέρεται· ἴσον γὰρ ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ. τὸ μὲν ἄρα δη τεταρτημόριον ἀνενεχθήσεται ἐν μοίραις χρονικαῖς ρε′, τὸ δὲ δα τεταρτημόριον ἀνενεχθήσεται ἐν μοίραις χρονικαῖς οε′· ὑπερέχει ἄρα ὁ τοῦ ηζ εδ τεταρτημορίου ἀναφορᾶς χρόνος τοῦ τῆς τοῦ δγ βα τεταρτημορίου ἀναφορᾶς χρόνου μοίραις χρονικαῖς λ′.
Καὶ ἐπεὶ ἓξ ὅροι εἰσὶν αἱ τῶν ηζ ζε εδ δγ γβ βα περιφερειῶν ἀναφοραὶ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ἑξῆς ἀλλήλοις κείμενοι, ἀρχόμενοι ἀπὸ μεγίστου τοῦ πρὸς τῷ η (τοῦτο γὰρ ὑπόκειται τοῖς τὰ ἀναφορικὰ πραγματευομένοις), ἡ ὑπεροχή, ᾗ ὑπερέχει ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους [ἀρχομένων ἀπὸ μεγίστου] τῶν λοιπῶν, τῆς ἐν τοῖς πᾶσιν ὑπεροχῆς πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸν τετράγωνον τὸν ἀπὸ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ὑπεροχὴ τῶν ἀναφορῶν, ᾗ ὑπερέχει ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους [ἀρχομένων ἀπὸ μεγίστου] τῶν λοιπῶν, μοῖραι χρονικαὶ λ′, ὁ δὲ τετράγωνος ὁ ἀπὸ τοῦ ἡμίσους θ′· τὸ δὲ θ′ τῶν λ′ εἰσὶ μοῖραι χρονικαὶ γ κ′. Ἡ ἄρα τῶν ἐν τοῖς ηζ ζε εδ δγ γβ βα δωδεκατημορίοις ἀναφορῶν ὑπεροχή ἐστι γ κ′.
[Πρόταση 2]
Πάλιν ἐπεὶ ὅροι ὁσοιδηποτοῦν εἰσιν αἱ τῶν ηζ ζε εδ περιφερειῶν ἀναφοραὶ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ἑξῆς ἀλλήλοις κείμενοι, περισσοὶ τὸ πλῆθος, <ἀρχόμενοι ἀπὸ μεγίστου>, ὁ ἐκ πάντων συγκείμενος τοῦ μέσου πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸ πλῆθος αὐτῶν. Καὶ ἔστι τοῦ μὲν ἐκ πάντων συγκειμένου ἀναφορὰ ρε′, τὸ δὲ πλῆθος τῶν ηζ ζε εδ τρία, τὸ δὲ τρίτον τῶν ρε′ λε′. ἡ ἄρα εζ περιφέρεια, ἥτις ἐστὶ λέοντος, ἀνενεχθήσεται ἐν μοίραις χρονικαῖς λε′· διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ βγ ἀνενεχθήσεται, ἥτις ἐστὶ ταύρου, ἐν μοίραις χρονικαῖς κε′.
Καὶ ὑπερέχουσιν ἀλλήλων αἱ τῶν ἑξῆς περιφερειῶν ἀναφοραὶ μοίραις χρονικαῖς γ κ′. ὁ μὲν ἄρα κριὸς ἀνενεχθήσεται ἐν μοίραις χρονικαῖς κα μ′, ὁ δὲ ταῦρος ἐν κε, δίδυμοι δὲ ἐν κη κ′, καρκίνος δὲ ἐν λα μ′, λέων δὲ ἐν λε, παρθένος δὲ ἐν λη κ′, καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἡ μὲν ζη τῇ θη, ἡ δὲ εζ τῇ θκ. Καὶ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀναφέρονται· ἀνενεχθήσεται ἄρα ζυγὸς μὲν δὴ ἐν λη κ′, σκορπίος δὲ ἐν λε, τοξότης δὲ ἐν λα μ′, αἰγόκερως δὲ ἐν κη κ′, ὑδροχόος δὲ ἐν κε, ἰχθύες δὲ ἐν κα μ′.
Φανεραὶ δὲ καὶ αἱ τῶν ζῳδίων καταδύσεις ἔσονται, ἐπειδήπερ ἑνὸς οὑδήποτε ζῳδίου ἀναφορὰ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ κατὰ διάμετρον ζῳδίου καταδύσει.
[Πρόταση 3]
Τῆς ὑπεροχῆς γιγνωσκομένης ᾗ ὑπερέχουσιν ἀλλήλων αἱ τῶν ἑξῆς δωδεκατημορίων τοῦ ζῳδιακοῦ ἀναφοραί, καὶ τῶν ἐν τοῖς δωδεκατημορίοις τριακοστημορίων τῶν ἑξῆς ἀλλήλοις κειμένων γνωσθήσονται αἱ ἀναφοραί, ἐν ᾗ εἰσιν ὑπεροχῇ.
Ἐκκείσθω τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου δωδεκατημόρια ἑξῆς ἀλλήλοις τὰ αβ βγ, καὶ ἐν πλείονι χρόνῳ τὸ αβ τοῦ βγ ἀναφερέσθω ἀρχὴ δὲ τῆς ἀναφορᾶς ἔστω τὸ α σημεῖον· ἡ ἄρα τοῦ αβ δωδεκατημορίου ἀναφορὰ τῆς τοῦ βγ δωδεκατημορίου ἀναφορᾶς ὑπερέχει μοίραις χρονικαῖς γ κ′. Λέγω δὴ ὅτι τῶν ἐν τοῖς αβ βγ δωδεκατημορίοις τριακοστημορίων τῶν ἑξῆς ἀλλήλοις κειμένων [ἀρχομένων ἀπὸ μεγίστου τοῦ πρὸς τῷ α] γνωσθήσονται αἱ ἀναφοραί, ἐν ᾗ εἰσιν ὑπεροχῇ, ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης.
Ἐπεὶ γὰρ ἐν τοῖς αβ βγ δωδεκατημορίοις αἱ τῶν τριακοστημορίων ἀναφοραὶ ἐν ἴσῃ εἰσὶν ὑπεροχῇ, ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς πρὸς τῷ α, ἡ ὑπεροχή, ᾗ ὑπερέχει ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους τῶν λοιπῶν, πολλαπλασίων ἐστὶ τῆς ἐν τοῖς πᾶσιν ὑπεροχῆς κατὰ τὸν τετράγωνον τὸν ἀπὸ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους τῶν ὅρων. καὶ ἔστιν ἡ μὲν τῶν αβ βγ ὑπεροχὴ μοῖραι χρονικαὶ γ κ′, ὁ δὲ τετράγωνος ὁ ἀπὸ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους ἐστὶ ϡ′· τὸ δὲ τῶν γ κ′ ἐννακοσιοστόν ἐστιν ο ο′ ιγ″ κ‴. ἡ ἄρα ζητουμένη ἀναφορικὴ ὑπεροχὴ τῶν ἐν τοῖς δωδεκατημορίοις τριακοστημορίων τῶν ἑξῆς ἀλλήλοις κειμένων ἐστὶν ο ο′ ιγ″ κ‴.
Τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου δωδεκατημορίου οὑδηποτοῦν γνωριζομένου ἑνός, ἐν ὅσαις χρονικαῖς μοίραις ἀναφέρεται, γιγνωσκομένης δὲ καὶ τῆς ἀναφορικῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχουσιν αἱ τῶν ἐν τοῖς δωδεκατημορίοις τριακοστημορίων τῶν ἑξῆς ἀλλήλοις κειμένων ἀναφοραί, καὶ ἕκαστον τῶν τριακοστημορίων γνωσθήσεται, ἐν ὅσῳ χρόνῳ ἀναφέρεται.
Ἐκκείσθω τὸ τοῦ κριοῦ δωδεκατημόριον τὸ αβ· οὐδὲν δὲ διοίσει, καὶ ἐὰν ἄλλο ὑποθώμεθα. τὸ αβ ἄρα δωδεκατημόριον ἀναφέρεται ἐν μοίραις χρονικαῖς κα μ′· δεῖ δὴ εὑρεῖν καὶ ἕκαστον τῶν ἐν τῷ αβ δωδεκατημορίῳ τριακοστημορίων, ἐν πόσῳ χρόνῳ ἀναφέρεται.
Ἔστω πρῶτον μὲν τριακοστημόριον τὸ αγ, ἔσχατον δὲ τὸ δβ. καὶ ἐπεὶ ὅροι ὁσοιδηποτοῦν εἰσιν αἱ τῶν ἐν τῷ αβ δωδεκατημορίῳ τριακοστημορίων τῶν ἑξῆς ἀλλήλοις κειμένων ἀναφοραὶ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ἄρτιοι τὸ πλῆθος, ἀρχόμενοι ἀπὸ μεγίστου τοῦ αγ, ὁ ἐκ πάντων τῶν ὑποκειμένων συγκείμενος δύο τῶν κατὰ συζυγίαν πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸν ἥμισυν τοῦ πλήθους τῶν [ἐκκειμένων] ὅρων. Καὶ ὁ μὲν ἐκ πάντων τῶν ὑποκειμένων ἐστὶν κα μ′, ὁ δὲ ἥμισυς τοῦ πλήθους ιε′· τὸ δὲ ιε′ τῶν κα μ′ γίγνεται α κϛ′ μ″. συναμφότερος ἄρα ἡ αγ δβ ἀνενεχθήσεται ἐν μοίραις χρονικαῖς α κϛ′ μ″.
Πάλιν ἐπεὶ αἱ τῶν ἐν τῷ αβ δωδεκατημορίῳ τριακοστημορίων περιφερειῶν ἀναφοραὶ ἐν ἴσῃ εἰσὶν ὑπεροχῇ, ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς αγ (καὶ ἔστι πρώτη μὲν ἡ αγ, ἐσχάτη δὲ ἡ δβ), ὑπερέχει ἡ αγ τῆς δβ κθ′ ὑπεροχαῖς ταῖς ἀνὰ ο ο′ ιγ″ κ‴. Αἱ δὲ τοσαῦται ὑπεροχαὶ αἱ ἀνὰ ο ο′ ιγ″ κ‴ συντεθεῖσαι γίγνονται ο ϛ′ κϛ″ μ‴· ὥστε καὶ ἡ τῆς αγ ἀναφορᾶς ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δβ ἐστὶν ο ϛ′ κϛ″ μ‴. Καὶ συναμφότερος ἡ αγ δβ ἀναφέρεται ἐν μοίραις χρονικαῖς α κϛ′ μ″· ἡ μὲν ἄρα αγ ἀνενεχθήσεται ἐν ο μϛ′ λγ″ κ‴, ἡ δὲ δβ ἐν ο μ′ ϛ″ μ‴.
Τούτων δὲ εὑρημένων καὶ γιγνωσκομένης τῆς ἐν ταῖς ἑξῆς περιφερείαις ἀναφορικῆς ὑπεροχῆς, ὅ ἐστιν ο ο′ ιγ″ κ‴, καὶ αἱ λοιπαὶ γνωσθήσονται, ἐν ὅσῳ χρόνῳ ἀναφέρονται.
