Υψικλής ο Αλεξανδρεύς Αναφορικός αρχαίος έλληνας μαθηματικός αστρονόμος αλεξάνδρεια, εικονογραφία - Hypsicles of Alexandria Anaphoricos On Ascensions ancient greek mathematician astronomer alexandria, illustration

ΥΨΙΚΛΗΣ, Ἀναφορικός

 

  • Αναφορικός, Υψικλής, (Anaphoricus or On Ascensions by Hypsicles) - Ευάγγελος Σπανδάγος, εκδ. Αίθρα, 2005 Ἀναφορικὸς – Ὑψικλῆς

    Πρὶν ἀπὸ τὸν Ἵππαρχο καὶ τὸν Πτολεμαῖο, ὁ ἀλεξανδρινὸς μαθηματικὸς Ὑψικλῆς ἠσχολήθη μὲ τοὺς χρόνους ἀνατολῆς τῶν ζῳδιακῶν ἀστερισμῶν. Τὸ ἔργο του εἶναι ἡ ἀρχαιότερη σωζόμενη πηγὴ γιὰ τὴν διαίρεση τοῦ ζῳδιακοῦ εἰς 360°.
    Εἰσαγωγή, ἀπόδοση, καὶ σχόλια: Εὐάγγελος Σπανδάγος, ἐκδ. Αἴθρα, 2005

  • Αναφορικός, Υψικλής, (Anaphoricus or On Ascensions by Hypsicles) - εκδ. Karl Manitus, Δρέσδη, 1888 Ἀναφορικὸς – Ὑψικλῆς 

    Τὸ ἔργο τοῦ Ὑψικλέους μὲ τὸ ἀρχαῖο ἑλληνικὸ κείμενο καὶ γερμανικὴ μετάφραση.
    Εἰσαγωγή, μετάφραση, καὶ σχόλια: Karl Manitius, Δρέσδη, 1888

  • Tων κατά το μαθηματικόν χρησίμων εις την Πλάτωνος ανάγνωσιν, εκδ. Αίθρα - Ευάγγελος Σπανδάγος Τῶν κατὰ τὸ μαθηματικὸν χρησίμων εἰς τὴν Πλάτωνος ἀνάγνωσιν – Θέων Σμυρναῖος

    Ὁ Θέων πραγματεύεται τὴν περὶ μαθηματικῶν καὶ ἀριθμῶν διδασκαλία τῶν Πυθαγορείων, τὴν περὶ μουσικῆς θεωρία, καὶ τὴν ἀστρονομία, ὅπως εἶχαν διαμορφωθεῖ ἕως τὴν ἐποχή του. Σκοπὸς του εἶναι ἡ προετοιμασία γιὰ τὴν μελέτη τῶν πλατωνικῶν διαλόγων.
    Εἰσαγωγή, ἀπόδοση, καὶ σχόλια: Εὐάγγελος Σπανδάγος, ἐκδ. Αἴθρα, 2003

  • Εισαγωγή εις τα Φαινόμενα, Γεμίνος Ρόδιος, εκδ. Αίθρα - Ευάγγελος Σπανδάγος Εἰσαγωγὴ εἰς τὰ Φαινόμενα – Γεμίνος Ῥόδιος

    Ἀπὸ τὰ καλλίτερα ἔργα τῆς ἀρχαιότητος, πραγματεύεται σημαντικὲς θεωρίες τῆς ἑλληνικῆς ἀστρονομίας καὶ καλύπτει πληθώρα θεμάτων ἀπὸ τὸ ἡλιακὸ ἔτος καὶ τοὺς ἀστερισμοὺς ἕως τὰ ἡμερολόγια καὶ τὶς καιρικὲς ἐπισημασίες.
    Εἰσαγωγή, ἀπόδοση, καὶ σχόλια: Εὐάγγελος Σπανδάγος, ἐκδ. Αἴθρα, 2002

  • Tων Αράτου και Ευδόξου φαινομένων εξηγήσεως,  Ίππαρχος, εκδ. Αίθρα - Ευάγγελος Σπανδάγος Τῶν Ἀράτου καὶ Εὐδόξου φαινομένων ἐξηγήσεως – Ἵππαρχος Ῥόδιος

    Τὸ μόνο σωζόμενο ἔργο τοῦ Ἱππάρχου ἀναφέρεται εἰς τὰ ἔργα τῶν Εὐδόξου καὶ Ἀράτου ὑποδεικνύοντας τὶς ὁμοιότητες μεταξύ τους, καὶ κατόπιν τὶς ἐνυπάρχουσες διαφορὲς μεταξὺ αὐτῶν τῶν ἔργων καὶ τῶν δικῶν του παρατηρήσεων.
    Εἰσαγωγή, ἀπόδοση, καὶ σχόλια: Εὐάγγελος Σπανδάγος, ἐκδ. Αἴθρα, 2002

 goldenbar

ΑΝΑΦΟΡΙΚΟΣ

ἑλληνικὸ πρωτότυπο ἐκ τοῦ TLG (Τhesaurus Lingua Graeca)

Βιογραφία Ὑψικλέους

❧ 

  Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ὅροι ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ἑξῆς ἀλλήλων κείμενοι, ἄρτιοι τὸ πλῆθος, <ἀρχόμενοι ἀπὸ μεγίστου>, ἡ ὑπεροχή, ᾗ ὑπερέχει ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους [ἀρχομένων ἀπὸ μεγίστου] τῶν λοιπῶν, τῆς ἐν τοῖς πᾶσιν ὑπεροχῆς πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸν τετράγωνον τὸν ἀπὸ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους τῶν ἐκκειμένων ὅρων. Ἔστωσαν ὁσοιδηποτοῦν ὅροι οἱ αβ βγ γδ δε εζ ζη, ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ἑξῆς ἀλλήλων κείμενοι, ἄρτιοι τὸ πλῆθος, ἀρχόμενοι ἀπὸ μεγίστου τοῦ αβ, ἥμισυς δὲ τοῦ πλήθους ἔστω ὁ αδ· λέγω ὅτι ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους τῶν λοιπῶν, τουτέστιν ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει ὁ αδ τοῦ δη, τῆς ἐν τοῖς πᾶσιν ὑπεροχῆς πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸν τετράγωνον τὸν ἀπὸ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους.

  Ἐπεὶ γὰρ ἡ τῶν αβ βγ ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶ τῇ τῶν δε εζ ὑπεροχῇ, ἐναλλὰξ ἄρα ἡ τῶν αβ δε ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶ τῇ τῶν βγ εζ ὑπεροχῇ· πάλιν, ἐπεὶ ἡ τῶν βγ γδ ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶ τῇ τῶν εζ ζη ὑπεροχῇ, ἐναλλὰξ ἡ τῶν βγ εζ ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶ τῇ τῶν γδ ζη ὑπεροχῇ. Ὥστε ἡ τῶν αβ δε ὑπεροχὴ καὶ ἡ τῶν βγ εζ ὑπεροχὴ καὶ ἡ τῶν γδ ζη ὑπεροχή, τουτέστιν ἡ τῶν αδ δη ὑπεροχή, τῆς τῶν αβ δε ὑπεροχῆς πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸ πλῆθος τῶν αβ βγ γδ. Ἔστι δὲ καὶ ἡ τῶν αβ δε ὑπεροχὴ τῆς τῶν αβ βγ ὑπεροχῆς πολλαπλασίων κατὰ τὸ πλῆθος τῶν αβ βγ γδ· ὥστε ἡ τῶν αδ δη ὑπεροχὴ τῆς τῶν αβ βγ ὑπεροχῆς πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸν τετράγωνον τὸν ἀπὸ τοῦ πλήθους τῶν αβ βγ γδ, τουτέστι κατὰ τὸν τετράγωνον τὸν ἀπὸ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους τῶν ἐκκειμένων ὅρων.

Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ὅροι ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ἑξῆς ἀλλήλων κείμενοι, περισσοὶ τὸ πλῆθος, ἀρχόμενοι ἀπὸ μεγίστου, ὁ ἐκ πάντων συγκείμενος τοῦ μέσου πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸ πλῆθος τῶν ἐκκειμένων ὅρων.

Ἔστωσαν ὁσοιδηποτοῦν ὅροι οἱ αβ βγ γδ δε εζ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ἑξῆς ἀλλήλων κείμενοι, ἀρχόμενοι ἀπὸ μεγίστου τοῦ αβ, τὸ δὲ πλῆθος αὐτῶν περισσὸν ἔστω· λέγω ὅτι ὁ ἐκ πάντων συγκείμενος ὁ αζ τοῦ μέσου τοῦ γδ πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸ πλῆθος αὐτῶν.

Ἐπεὶ γὰρ οἱ αβ βγ γδ δε εζ ἐν ἴσῃ εἰσὶν ὑπεροχῇ, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν αβ βγ γδ τῷ πλήθει τῶν γδ δε εζ, ἔσται ἄρα δι' ἴσου ἡ τῶν αβ γδ ὑπεροχὴ ἴση τῇ τῶν γδ εζ ὑπεροχῇ· συναμφότερος ἄρα ὁ αβ εζ τοῦ γδ ἐστὶ διπλασίων, ὥστε συναμφότερος ὁ αβ εζ τοῦ γδ πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸ πλῆθος τῶν αβ εζ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ συναμφότερος ὁ βγ δε τοῦ γδ πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸ πλῆθος τῶν βγ δε, καὶ ἔστιν ὁ γδ ἴσος ἑαυτῷ· ὥστε ὁ αζ τοῦ γδ πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸ πλῆθος τῶν αβ βγ γδ δε εζ.

Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ὅροι ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ἑξῆς ἀλλήλων κείμενοι, ἄρτιοι τὸ πλῆθος, <ἀρχόμενοι ἀπὸ μεγίστου>, ὁ ἐκ πάντων συγκείμενος δύο τῶν κατὰ συζυγίαν πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸν ἥμισυν τοῦ πλήθους τῶν ἐκκειμένων ὅρων. Συζυγεῖς δὲ ἀλλήλων ὅρους καλῶ δύο τοὺς ἄκρους καὶ πάλιν τοὺς τούτων ἐχομένους δύο καὶ ἀεὶ δύο τοὺς ἑξῆς μέχρι τῶν μεσαιτάτων.

Ἔστωσαν ὁσοιδηποτοῦν ὅροι οἱ αβ βγ γδ δε εζ ζη ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ἑξῆς ἀλλήλων κείμενοι, ἀρχόμενοι ἀπὸ μεγίστου τοῦ αβ, τὸ δὲ πλῆθος αὐτῶν ἄρτιον ἔστω· λέγω ὅτι ὁ ἐκ πάντων συγκείμενος ὁ αη δύο τῶν κατὰ συζυγίαν πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸν ἥμισυν τοῦ πλήθους τῶν ἐκκειμένων ὅρων.

Ἐπεὶ γὰρ ἡ τῶν αβ βγ ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶ τῇ τῶν εζ ζη ὑπεροχῇ, συναμφότερος ἄρα ὁ αβ ζη ἴσος ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῷ βγ εζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ συναμφότερος ὁ βγ εζ ἴσος ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῷ γδ δε. Ἔνεισιν ἄρα τῷ αη τοσοῦτοι συναμφότεροι οἱ αβζη βγεζ γδδε, ὅσον ἐστὶ τὸ πλῆθος τῶν αβ βγ γδ, τουτέστιν ὅσον ἐστὶ τὸ ἥμισυ τοῦ πλήθους τῶν ἐκκειμένων ὅρων· ὥστε ὁ αη δύο τῶν κατὰ συζυγίαν πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸν ἥμισυν τοῦ πλήθους τῶν ἐκκειμένων ὅρων.

Τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου εἰς τξ′ περιφερείας ἴσας διῃρημένου, ἑκάστη τῶν περιφερειῶν μοῖρα τοπικὴ καλείσθω· ὁμοίως δὴ καὶ τοῦ χρόνου, ἐν ᾧ ὁ ζῳδιακὸς ἀφ' οὗ ἔτυχε σημείου ἐπὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον παραγίγνεται, εἰς τξ′ χρόνους ἴσους διῃρημένου, ἕκαστος τῶν χρόνων μοῖρα χρονικὴ καλείσθω. Τούτων ὑποκειμένων χρώμενοι τοῖς προγεγραμμένοις θεωρήμασι δείξομεν, ὡς ἐν τῷ δοθέντι τόπῳ, γιγνωσκομένου τοῦ λόγου, ὃν ἔχει ἡ μακροτάτη ἡμέρα πρὸς τὴν βραχυτάτην ἡμέραν, ἕκαστον τῶν ζῳδίων γνωσθήσεται, ἐν ὅσαις χρονικαῖς μοίραις ἀναφέρεται.

Ὑποκείσθω δὴ τὸ ἐν Ἀλεξανδρείᾳ τῇ πρὸς Αἴγυπτον κλίμα, ἐν ᾧ ἡ μακροτάτη ἡμέρα πρὸς τὴν βραχυτάτην ἡμέραν λόγον ἔχει ὃν ζ′ πρὸς ε′· ὅτι γὰρ οὕτως ἔχει, ἐδείξαμεν χρώμενοι ταῖς ἀπὸ τῶν γνωμόνων γιγνομέναις τροπικαῖς μεσημβριναῖς σκιαῖς.

Ἐκκείσθω ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος, ἐν ᾧ ἰσημερινοῦ διάμετρος ἡ αη· καὶ διῃρήσθω ὁ κύκλος εἰς τὰ ζῴδια κατὰ τὰ α β γ δ ε ζ η θ κ λ μ ν· καὶ ἔστω τὸ μὲν α σημεῖον ἀρχὴ κριοῦ, τὸ δὲ β ἀρχὴ τοῦ ταύρου, τὸ δὲ γ ἀρχὴ διδύμων, καὶ τὰ ἑξῆς σημεῖα τῶν ἑξῆς ζῳδίων νοείσθω. καὶ ἐπεὶ ἡ μεγίστη ἡμέρα πρὸς τὴν βραχυτάτην ἡμέραν λόγον ἔχει ὃν ζ′ πρὸς ε′, καὶ ἔστι μεγίστης ἡμέρας χρόνος, ἐν ᾧ τὸ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικύκλιον ἀναφέρεται, τουτέστι τὸ δηλ, ἐλαχίστης δὲ ἡμέρας χρόνος, ἐν ᾧ τὸ μετὰ τὸν αἰγόκερω ἡμικύκλιον ἀναφέρεται, τὸ λαδ, ὁ ἄρα τῆς τοῦ δηλ ἡμικυκλίου ἀναφορᾶς χρόνος πρὸς τὸν τοῦ λαδ ἡμικυκλίου ἀναφορᾶς χρόνον λόγον ἔχει ὃν ζ′ πρὸς ε′. Καὶ ὅλος ὁ κύκλος ἀναφέρεται ἐν χρονικαῖς μοίραις τξ′· τὸ μὲν ἄρα δηλ ἡμικύκλιον ἀναφέρεται ἐν μοίραις χρονικαῖς σι′, τὸ δὲ λαδ ἡμικύκλιον ἐν μοίραις χρονικαῖς ρν′. Καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ μὲν δη τεταρτημόριον τῷ ηλ τεταρτημορίῳ ἀναφέρεται, τὸ δὲ λα τεταρτημόριον τῷ αδ τεταρτημορίῳ ἀναφέρεται· ἴσον γὰρ ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ. τὸ μὲν ἄρα δη τεταρτημόριον ἀνενεχθήσεται ἐν μοίραις χρονικαῖς ρε′, τὸ δὲ δα τεταρτημόριον ἀνενεχθήσεται ἐν μοίραις χρονικαῖς οε′· ὑπερέχει ἄρα ὁ τοῦ ηζ εδ τεταρτημορίου ἀναφορᾶς χρόνος τοῦ τῆς τοῦ δγ βα τεταρτημορίου ἀναφορᾶς χρόνου μοίραις χρονικαῖς λ′.

Καὶ ἐπεὶ ἓξ ὅροι εἰσὶν αἱ τῶν ηζ ζε εδ δγ γβ βα περιφερειῶν ἀναφοραὶ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ἑξῆς ἀλλήλοις κείμενοι, ἀρχόμενοι ἀπὸ μεγίστου τοῦ πρὸς τῷ η (τοῦτο γὰρ ὑπόκειται τοῖς τὰ ἀναφορικὰ πραγματευομένοις), ἡ ὑπεροχή, ᾗ ὑπερέχει ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους [ἀρχομένων ἀπὸ μεγίστου] τῶν λοιπῶν, τῆς ἐν τοῖς πᾶσιν ὑπεροχῆς πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸν τετράγωνον τὸν ἀπὸ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ὑπεροχὴ τῶν ἀναφορῶν, ᾗ ὑπερέχει ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους [ἀρχομένων ἀπὸ μεγίστου] τῶν λοιπῶν, μοῖραι χρονικαὶ λ′, ὁ δὲ τετράγωνος ὁ ἀπὸ τοῦ ἡμίσους θ′· τὸ δὲ θ′ τῶν λ′ εἰσὶ μοῖραι χρονικαὶ γ κ′. Ἡ ἄρα τῶν ἐν τοῖς ηζ ζε εδ δγ γβ βα δωδεκατημορίοις ἀναφορῶν ὑπεροχή ἐστι γ κ′.

Πάλιν ἐπεὶ ὅροι ὁσοιδηποτοῦν εἰσιν αἱ τῶν ηζ ζε εδ περιφερειῶν ἀναφοραὶ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ἑξῆς ἀλλήλοις κείμενοι, περισσοὶ τὸ πλῆθος, <ἀρχόμενοι ἀπὸ μεγίστου>, ὁ ἐκ πάντων συγκείμενος τοῦ μέσου πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸ πλῆθος αὐτῶν. Καὶ ἔστι τοῦ μὲν ἐκ πάντων συγκειμένου ἀναφορὰ ρε′, τὸ δὲ πλῆθος τῶν ηζ ζε εδ τρία, τὸ δὲ τρίτον τῶν ρε′ λε′. ἡ ἄρα εζ περιφέρεια, ἥτις ἐστὶ λέοντος, ἀνενεχθήσεται ἐν μοίραις χρονικαῖς λε′· διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ βγ ἀνενεχθήσεται, ἥτις ἐστὶ ταύρου, ἐν μοίραις χρονικαῖς κε′.

Καὶ ὑπερέχουσιν ἀλλήλων αἱ τῶν ἑξῆς περιφερειῶν ἀναφοραὶ μοίραις χρονικαῖς γ κ′. ὁ μὲν ἄρα κριὸς ἀνενεχθήσεται ἐν μοίραις χρονικαῖς κα μ′, ὁ δὲ ταῦρος ἐν κε, δίδυμοι δὲ ἐν κη κ′, καρκίνος δὲ ἐν λα μ′, λέων δὲ ἐν λε, παρθένος δὲ ἐν λη κ′, καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἡ μὲν ζη τῇ θη, ἡ δὲ εζ τῇ θκ. Καὶ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀναφέρονται· ἀνενεχθήσεται ἄρα ζυγὸς μὲν δὴ ἐν λη κ′, σκορπίος δὲ ἐν λε, τοξότης δὲ ἐν λα μ′, αἰγόκερως δὲ ἐν κη κ′, ὑδροχόος δὲ ἐν κε, ἰχθύες δὲ ἐν κα μ′.

Φανεραὶ δὲ καὶ αἱ τῶν ζῳδίων καταδύσεις ἔσονται, ἐπειδήπερ ἑνὸς οὑδήποτε ζῳδίου ἀναφορὰ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ κατὰ διάμετρον ζῳδίου καταδύσει.

Τῆς ὑπεροχῆς γιγνωσκομένης ᾗ ὑπερέχουσιν ἀλλήλων αἱ τῶν ἑξῆς δωδεκατημορίων τοῦ ζῳδιακοῦ ἀναφοραί, καὶ τῶν ἐν τοῖς δωδεκατημορίοις τριακοστημορίων τῶν ἑξῆς ἀλλήλοις κειμένων γνωσθήσονται αἱ ἀναφοραί, ἐν ᾗ εἰσιν ὑπεροχῇ.

Ἐκκείσθω τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου δωδεκατημόρια ἑξῆς ἀλλήλοις τὰ αβ βγ, καὶ ἐν πλείονι χρόνῳ τὸ αβ τοῦ βγ ἀναφερέσθω ἀρχὴ δὲ τῆς ἀναφορᾶς ἔστω τὸ α σημεῖον· ἡ ἄρα τοῦ αβ δωδεκατημορίου ἀναφορὰ τῆς τοῦ βγ δωδεκατημορίου ἀναφορᾶς ὑπερέχει μοίραις χρονικαῖς γ κ′. Λέγω δὴ ὅτι τῶν ἐν τοῖς αβ βγ δωδεκατημορίοις τριακοστημορίων τῶν ἑξῆς ἀλλήλοις κειμένων [ἀρχομένων ἀπὸ μεγίστου τοῦ πρὸς τῷ α] γνωσθήσονται αἱ ἀναφοραί, ἐν ᾗ εἰσιν ὑπεροχῇ, ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης.

Ἐπεὶ γὰρ ἐν τοῖς αβ βγ δωδεκατημορίοις αἱ τῶν τριακοστημορίων ἀναφοραὶ ἐν ἴσῃ εἰσὶν ὑπεροχῇ, ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς πρὸς τῷ α, ἡ ὑπεροχή, ᾗ ὑπερέχει ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους τῶν λοιπῶν, πολλαπλασίων ἐστὶ τῆς ἐν τοῖς πᾶσιν ὑπεροχῆς κατὰ τὸν τετράγωνον τὸν ἀπὸ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους τῶν ὅρων. καὶ ἔστιν ἡ μὲν τῶν αβ βγ ὑπεροχὴ μοῖραι χρονικαὶ γ κ′, ὁ δὲ τετράγωνος ὁ ἀπὸ τοῦ ἡμίσους τοῦ πλήθους ἐστὶ ϡ′· τὸ δὲ τῶν γ κ′ ἐννακοσιοστόν ἐστιν ο ο′ ιγ″ κ‴. ἡ ἄρα ζητουμένη ἀναφορικὴ ὑπεροχὴ τῶν ἐν τοῖς δωδεκατημορίοις τριακοστημορίων τῶν ἑξῆς ἀλλήλοις κειμένων ἐστὶν ο ο′ ιγ″ κ‴.

Τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου δωδεκατημορίου οὑδηποτοῦν γνωριζομένου ἑνός, ἐν ὅσαις χρονικαῖς μοίραις ἀναφέρεται, γιγνωσκομένης δὲ καὶ τῆς ἀναφορικῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχουσιν αἱ τῶν ἐν τοῖς δωδεκατημορίοις τριακοστημορίων τῶν ἑξῆς ἀλλήλοις κειμένων ἀναφοραί, καὶ ἕκαστον τῶν τριακοστημορίων γνωσθήσεται, ἐν ὅσῳ χρόνῳ ἀναφέρεται.

Ἐκκείσθω τὸ τοῦ κριοῦ δωδεκατημόριον τὸ αβ· οὐδὲν δὲ διοίσει, καὶ ἐὰν ἄλλο ὑποθώμεθα. τὸ αβ ἄρα δωδεκατημόριον ἀναφέρεται ἐν μοίραις χρονικαῖς κα μ′· δεῖ δὴ εὑρεῖν καὶ ἕκαστον τῶν ἐν τῷ αβ δωδεκατημορίῳ τριακοστημορίων, ἐν πόσῳ χρόνῳ ἀναφέρεται.

Ἔστω πρῶτον μὲν τριακοστημόριον τὸ αγ, ἔσχατον δὲ τὸ δβ. καὶ ἐπεὶ ὅροι ὁσοιδηποτοῦν εἰσιν αἱ τῶν ἐν τῷ αβ δωδεκατημορίῳ τριακοστημορίων τῶν ἑξῆς ἀλλήλοις κειμένων ἀναφοραὶ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ἄρτιοι τὸ πλῆθος, ἀρχόμενοι ἀπὸ μεγίστου τοῦ αγ, ὁ ἐκ πάντων τῶν ὑποκειμένων συγκείμενος δύο τῶν κατὰ συζυγίαν πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸν ἥμισυν τοῦ πλήθους τῶν [ἐκκειμένων] ὅρων. Καὶ ὁ μὲν ἐκ πάντων τῶν ὑποκειμένων ἐστὶν κα μ′, ὁ δὲ ἥμισυς τοῦ πλήθους ιε′· τὸ δὲ ιε′ τῶν κα μ′ γίγνεται α κϛ′ μ″. συναμφότερος ἄρα ἡ αγ δβ ἀνενεχθήσεται ἐν μοίραις χρονικαῖς α κϛ′ μ″.

Πάλιν ἐπεὶ αἱ τῶν ἐν τῷ αβ δωδεκατημορίῳ τριακοστημορίων περιφερειῶν ἀναφοραὶ ἐν ἴσῃ εἰσὶν ὑπεροχῇ, ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς αγ (καὶ ἔστι πρώτη μὲν ἡ αγ, ἐσχάτη δὲ ἡ δβ), ὑπερέχει ἡ αγ τῆς δβ κθ′ ὑπεροχαῖς ταῖς ἀνὰ ο ο′ ιγ″ κ‴. Αἱ δὲ τοσαῦται ὑπεροχαὶ αἱ ἀνὰ ο ο′ ιγ″ κ‴ συντεθεῖσαι γίγνονται ο ϛ′ κϛ″ μ‴· ὥστε καὶ ἡ τῆς αγ ἀναφορᾶς ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δβ ἐστὶν ο ϛ′ κϛ″ μ‴. Καὶ συναμφότερος ἡ αγ δβ ἀναφέρεται ἐν μοίραις χρονικαῖς α κϛ′ μ″· ἡ μὲν ἄρα αγ ἀνενεχθήσεται ἐν ο μϛ′ λγ″ κ‴, ἡ δὲ δβ ἐν ο μ′ ϛ″ μ‴.

Τούτων δὲ εὑρημένων καὶ γιγνωσκομένης τῆς ἐν ταῖς ἑξῆς περιφερείαις ἀναφορικῆς ὑπεροχῆς, ὅ ἐστιν ο ο′ ιγ″ κ‴, καὶ αἱ λοιπαὶ γνωσθήσονται, ἐν ὅσῳ χρόνῳ ἀναφέρονται.